Urodził się w 1942 r. w Lubowidzu. W 1968 r. ukończył studia na Wydziale Mechanicznym Politechniki Wrocławskiej. Swoją karierę zawodową rozpoczął od zawodu pedagoga. Od 1968 r. był nauczycielem przedmiotów zawodowych, w 1974 r. został wicedyrektorem, a następnie dyrektorem Zespołu Szkół Mechanicznych w Wałbrzychu.
W latach 1975 – 82 pracował jako wicekurator oraz kurator oświaty i wychowania, a w latach 1982 – 84 – dyrektor biura Zarządu Wojewódzkiego Towarzystwa Przyjaciół Dzieci w Wałbrzychu. W połowie lat osiemdziesiątych związał się z inną dziedziną życia – samorządem.
Od 1985 r. do 1990 r. sprawował urząd Prezydenta Miasta Wałbrzycha, a następnie przez trzy lata był dyrektorem Wydziału Kultury, Sportu i Turystyki Urzędu Wojewódzkiego w Wałbrzychu. W latach 1993 – 97 był wojewodą wałbrzyskim. W 1998 r. został wiceprezydentem Wałbrzycha, a od 2000 r. do 2001 r. – był sekretarzem miasta. W roku 2001 wystartował w wyborach do Senatu, by skutecznie zdobyć mandat z ramienia Sojuszu Lewicy Demokratycznej. Mandat ten sprawował do 2003 roku, by złożyć go na rzecz pełnienia innej ważnej funkcji – od 31.01.2003 r. pełni obowiązki Marszałka Województwa Dolnośląskiego.
Od 1991 r. jest prezesem Zarządu Głównego Polskiego Towarzystwa Schronisk Młodzieżowych. W maju 2003 r. został powołany na członka Rady Turystyki II Kadencji, która działa przy Ministerstwie Gospodarki, Pracy i Polityki Społecznej. Należy do Sojuszu Lewicy Demokratycznej.
Jeśli w dzisiejszych czasach można mówić o patriotyzmie, to o Henryku Gołębiewskim tak właśnie można powiedzieć – patriota. Jest szczególnie związany z ziemią wałbrzyską, na rzecz której od lat skutecznie pracuje. Ze Stowarzyszeniem Przedsiębiorców i Kupców Świdnickich związany jest od jedenastu blisko lat – od chwili, gdy został wojewodą wałbrzyskim. Zawsze uważnie wsłuchuje się w nasze opinie i uwagi. Jest osobą otwartą, życzliwą, gotową do każdej formy współpracy. Jego duże dokonania na rzecz regionu, a także ta właśnie dobra współpraca ze środowiskiem biznesowym były głównymi motywami, by uhonorować Pana Marszałka Gołębiewskiego tytułem Honorowego Członka Stowarzyszenia Przedsiębiorców i Kupców Świdnickich.
